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Préliminaires intégraux: volumes des tubes

On considère une sous-variété $ X $ de dimension $ d $ d'un espace $ E $ euclidien de dimension $ n $. On procède alors aux définitions suivantes:

On va déterminer des densités sur les variétés définies ci-dessus de manière à ce qu'elles soient aussi canoniques que possible et qu'elles possèdent de bonnes propriétés pour l'intégration.

Lemme 1.1   Il existe des densités $ \Delta \protect $ sur $ NX\protect $ et $ \Psi \protect $ sur $ NUX $ telles que l'on ait les propriétés suivantes:

$\displaystyle \int _{NX}f.\Delta =\int _{X}\int _{N_{x}X}f.\varepsilon _{x}.\delta $

$\displaystyle \int _{NUX}f.\Psi =\int _{X}\int _{\{x\}\times NU_{x}X}f.\tau _{x}.\delta $

pour toute fonction $ f $ intégrable.

(où $ \varepsilon _{x} $, $ \tau _{x} $, et $ \delta $ sont les densités canoniques données par la structure euclidienne)

En notant $ \Delta _{0} $ la densité canonique de $ E $, on définit naturellement le volume suivant:

$\displaystyle \mathop{\rm Volume}\nolimits (\mathop{\rm TUB}\nolimits ^{\vareps...
...s ^{\varepsilon }X}\Delta _{0}=\int _{N^{\varepsilon }X}can^{\star }\Delta _{0}$

On cherche à exprimer $ can^{\star }\Delta _{0} $ sous la forme $ G\Delta $$ \Delta \protect $ est la densité sur $ NX\protect $ définie ci-dessus.

$ G $ s'écrit nécessairement sous la forme suivante:

$\displaystyle G=\sum _{i=0}^{d}W_{i}$

$ \forall i,W_{i}\in C^{\infty }(NX) $ et pour tout $ x $ fixé, $ v\longmapsto W_{i}(x,v) $ est un polynôme homogène de degré $ i $ sur l'espace vectoriel $ N_{x}X $.

On obtient donc la formule suivante:

$\displaystyle \mathop{\rm Volume}\nolimits (\mathop{\rm TUB}\nolimits ^{\vareps...
...X}\sum ^{d}_{i=0}\int _{N^{\varepsilon }_{x}X}W_{i}(x,v)\varepsilon _{x}\delta $

Cela conduit à calculer calculer chaque terme de la somme en faisant sortir $ \varepsilon $ de l'intégrale, de manière à obtenir pour le volume un polynôme en $ \varepsilon $. Par un changement de coordonnées polaire, on obtient

$\displaystyle \int _{N^{\varepsilon }_{x}X}W_{i}(x,v)\varepsilon _{x}\delta =\frac{\varepsilon ^{n-d+i}}{n-d+i}\int _{NU_{x}X}W_{i}(x,v)\tau _{x}$

$ \tau _{x} $ est la densité canonique de $ NU_{x}X $.

Définition 1.2   On définit la 2i-ème courbure de Weyl de X sous-variété de E de la manière suivante:

$ K_{2i}(x)=\int _{NU_{x}X}W_{i}(x,v)\tau _{x} $ pour $ i=0..[\frac{d}{2}] $

On a $ \int _{NUX}W_{d}\psi =\int _{X}(\int _{NU_{X}X}W_{d}\tau _{x})\delta =\int _{X}K_{d}\delta =\int _{NUX}W_{d}\Theta =\int _{NUX}\gamma ^{\star }\Sigma $

$ \Theta $ est la forme volume canonique de $ NUX $ et $ \Sigma $ la forme volume canonique sur $ S(E) $ déduite de celle de $ E $.


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