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Eléments d'homotopie

Les définitions données dans cette section seront utilisées pour la théorie de Morse, qui servira à la démonstration de la formule de Gauss-Bonnet .

Définition 3.1   Soient $ X $ et $ Y\protect $ deux variétés, $ f,g\in (C^{\infty }(X,Y))^{2}\protect $. On dit que $ f $ et $ g\protect $ sont homotopes si

$\displaystyle \exists \: F:[0,1]\times X\rightarrow Y$

vérifiant:

Définition 3.2   Deux espaces X et Y ont même type d'homotopie s'il existe un couple d'applications $ f\in C^{0}(X,Y), g\in C^{0}(Y,X) $ telles que $ g\circ f\protect $ et $ f\circ g\protect $ soient homotopes à l'identité de X et Y respectivement. $ f $ est alors une équivalence homotopique de $ X $ à $ Y\protect $.

Deux espaces ayant même type d'homotopie ont en particulier des groupes de cohomologie isomorphes.



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