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Lemme de Whitehead

Ce lemme dit que si l'on attache à un espace $ X $ une cellule $ e^{\lambda } $ en identifiant les points du bord de la cellule à leur image par une certaine fonction $ \varphi $ (les ouverts de la topologie quotient étant donnés par les images réciproques par la projection des ouverts de l'espace $ X\bigsqcup e^{\lambda } $), les espaces obtenus sont tous du même type d'homotopie lorsque $ \varphi $ décrit une classe d'équivalence homotopique. Plus précisément, cela donne:

Soient $ \varphi _{0} $ et $ \varphi _{1} $ des applications homotopes de $ \partial e^{\lambda } $ dans $ X $. Alors à partir de l'identité sur $ X $ on obtient une équivalence homotopique $ K:X\cup _{\varphi _{0}}e^{\lambda }\rightarrow X\cup _{\varphi _{1}}e^{\lambda } $.

Lemme 3.3  

Soit $ \varphi $ une applications de $ \partial e^{\lambda } $ dans $ X $. Alors toute équivalence homotopique $ f $ de $ X $ à $ Y\protect $ donne une équivalence homotopique $ F $ de $ X\cup _{\varphi }e^{\lambda } $ à $ Y\cup _{f\circ \varphi }e^{\lambda } $.