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Théorie de Morse

Dans la suite $ f $ est une fonction C $ ^{\infty } $ d'une variété sans bord $ M $ de dimension $ d $, à valeurs dans $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$, dont les points critiques ne sont pas dégénérés. Soit

$ M^{a}=f^{-1}]-\infty ,a] $

Théorème 4.4   Si $ a<b $, $ f^{-1}[a,b]\protect $ est compact et ne contient aucun point critique de f, alors $ M^{a}\protect $ est un rétracte par déformation de $ M^{b}\protect $.

La rétraction se fait en suivant les lignes de gradient de $ f $. On définit la fonction $ \rho \in C^{\infty }(M,{\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}) $ de la manière suivante: $ \rho=\frac{1}{\parallel \mathop{\rm grad}\nolimits (f)\parallel ^{2}} $ (on suppose avoir choisi une métrique riemannienne) dans un voisinage compact de $ f^{-1}[a,b]\protect $, $ \rho =0 $ ailleurs. Comme on peut le voir de la même manière qu'en 5.1.2, le champ de vecteurs $ X_{q}=\rho (q)\mathop{\rm grad}\nolimits (f)_{q} $ génère un groupe à un paramètre de difféomorphismes $ \varphi _{t} $.

On cherche à calculer la variation de $ f $ le long d'une courbe intégrale pour $ q\in f^{-1}[a,b] $ fixé, et on a choisi $ \rho $ de manière que cette variation soit très simple:

$\displaystyle \frac{df(\varphi _{t}(q))}{dt}=<\frac{d\varphi _{t}(q)}{dt},\mathop{\rm grad}\nolimits (f)>=<X,\mathop{\rm grad}\nolimits (f)>=1$

On définit $ r:[0,1]\times M^{b}\rightarrow M^{b} $ de la manière suivante: $ r(t,q)=q $ si $ f(q)\leq a $, $ r(t,q)=\varphi _{t(a-f(q))}(q) $ sinon. $ r $ est une rétraction de $ M^{b}\protect $ sur $ M^{a}\protect $.

$ \triangleleft $

Théorème 4.5   Soit $ p $ un point critique (non-dégénéré) de $ f $, d'indice $ \lambda \protect $ ( $ \lambda \protect $ est la dimension maximale d'un sous-espace où la dérivée seconde est définie négative). En écrivant $ c=f(p) $, pour $ \varepsilon $ assez petit, si $ f^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])\protect $ est compact et ne contient qu'un point critique de $ f $, alors $ M ^{c+\varepsilon } $ a le type d'homotopie de $ M^{c-\varepsilon }\protect $ avec une cellule de dimension $ \lambda \protect $ attachée. Dans le cas d'une valeur critique correspondant à plusieurs points critiques, il faut attacher les cellules correspondant à chacun d'entre eux.

D'après le lemme de Morse, dans un voisinage $ U\protect $ de $ p $ on peut choisir un système de coordonnées $ u^{1},..,u^{n} $ tel que $ f $ s'exprime de la manière suivante dans ce voisinage:

$\displaystyle f(u^{1},..,u^{n})=c-(u^{1})^{2}-..-(u^{\lambda })^{2}+(u^{\lambda +1})^{2}+..+(u^{n})^{2}$

On définit les fonctions $ \xi $ et $ \eta $ de $ U\protect $ dans $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}_{+} $ comme suit:

$\displaystyle \xi (x)=[u^{1}(x)]^{2}+..+[u^{\lambda }(x)]^{2}$

$\displaystyle \eta (x)=[u^{\lambda +1}(x)]^{2}+..+[u^{n}(x)]^{2}$

Soit $ \varepsilon \in {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{\star }_{+} $ tel que $ f^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])\protect $ soit compact et ne contienne qu'un seul point critique, et tel que le voisinage $ U\protect $ contienne en coordonées locales la boule de centre $ 0\protect $ et de rayon $ 2\varepsilon $.

On définit $ e^{\lambda } $ de la manière suivante: $ e^{\lambda }=\{x\in U\vert\xi (x)\leq \varepsilon ,\: \eta (x)=0\} $.

On a $ e^{\lambda }\bigcap M^{c-\varepsilon }=\partial e^{\lambda } $, et on peut donc considérer que $ e^{\lambda } $ est rattachée à $ M^{c-\varepsilon }\protect $ par l'inclusion. On va montrer que $ M^{c-\varepsilon }\bigcup e^{\lambda } $ est un rétracte par déformation de $ M ^{c+\varepsilon } $, ce qui montrera que ces deux espaces ont même type d'homotopie.

On va modifier la fonction $ f $ au voisinage de $ p $ de manière à obtenir une nouvelle fonction $ F $ à laquelle on pourra appliquer le théorème 4.4. Pour cela on a besoin d'une fonction auxiliaire $ \mu \in C^{\infty }({\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}},{\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}) $ ayant les propriétés suivantes:

$ F $ coïncide avec $ f $ en dehors de $ U\protect $, et est donnée par la formule suivante dans $ U\protect $:

$\displaystyle F=f-\mu \circ (\xi +2\eta )$

Etant donné son mode de construction, $ F $ est $ C^{\infty } $ sur $ M $.

On remarque que $ F^{-1}(]-\infty , $c+ $ \varepsilon ])=f^{-1}(]-\infty ,c+\varepsilon ]) $. On a $ \forall \: x\in M,\: F(x)\leq f(x) $, d'où $ f^{-1}(]-\infty ,c+\varepsilon ])\subset F^{-1}(]-\infty ,c+\varepsilon ]) $. D'autre part, si $ F(x)\leq c+\varepsilon $, alors $ x\in U\cup M^{c-\varepsilon }\subset M^{c+\varepsilon } $.

On remarque également que $ F $ et $ f $ ont mêmes points critiques: en exprimant $ F $ à l'aide de $ \xi $ et $ \eta $, on a

$\displaystyle F=c-\xi +\eta -\mu \circ (\xi +2\eta )$

On peut donc considérer $ F $ comme fonction de $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{2} $, et on a pour la différentielle

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial \xi }=-1-\mu '(\xi +2\eta )$

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial \eta }=1-2\mu '(\xi +2\eta )$

Etant donné que $ dF=\frac{\partial F}{\partial \xi }d\xi +\frac{\partial F}{\partial \eta }d\eta $, et que $ d\xi $ et $ d\eta $ ne s'annulent simultanément qu'à l'origine, $ F $ n'a pas de point critique dans $ U\setminus \{p\} $.

D'autre part, $ F^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])\subset f^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ]) $, et le seul point critique de $ F $ que cet ensemble puisse contenir est donc $ p $. Or

$\displaystyle F(p)=c-\mu (0)<c-\varepsilon $

Donc $ F^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ]) $ ne contient aucun point critique de $ F $, et $ F^{-1}(]-\infty ,c-\varepsilon ]) $ est donc un rétracte par déformation de $ F^{-1}(]-\infty ,c+\varepsilon ])=M^{c+\varepsilon } $.

On note $ M^{c-\varepsilon }\cup H=F^{-1}(]-\infty ,c-\varepsilon ]) $. Il reste à montrer que $ M^{c-\varepsilon }\cup e^{\lambda } $ est un rétracte par déformation de $ M^{c-\varepsilon }\cup H $ (la relation ``être un rétracte par déformation de'' étant transitive), ce que l'on va faire de manière directe, en exhibant la famille d'applications $ (r_{t}:M^{c-\varepsilon }\cup H\rightarrow M^{c-\varepsilon }\cup H)_{t\in [0,1]} $ ad-hoc.

$ r_{t} $ est l'identité en-dehors de $ U\protect $, et dans $ U\protect $ on distingue trois cas en fonction des valeurs de $ \xi $ et $ \eta $:

  1. Si $ \xi \leq \varepsilon $, $ r_{t}:(u^{1},..,u^{n})\longmapsto (u^{1},..,u^{\lambda },tu^{\lambda +1},..,tu^{n}) $

  2. Si $ \varepsilon \leq \xi \leq \eta +\varepsilon $, $ r_{t}:(u^{1},..,u^{n})\longmapsto (u^{1},..,u^{\lambda },s_{t}u^{\lambda +1},..,s_{t}u^{n}) $ $ s_{t}=t+(1-t)\sqrt{\frac{\xi -\varepsilon }{\eta }} $

  3. Si $ \eta +\varepsilon \leq \xi $, $ r_{t} $ est l'identité.

$ r_{1} $ est dans les trois cas l'identité, et $ r_{0} $ une rétraction dans $ e^{\lambda } $. La définition fait que globalement on obtient bien une fonction $ C^{\infty } $.

$ \triangleleft $

Théorème 4.6   Si pour tout a de $ M $ $ M^{a}\protect $ est compact, alors $ M^{a}\protect $ a le type d'homotopie d'un complexe cellulaire $ C^{a}\protect $ possédant autant de cellules de dimension $ \lambda \protect $ que de points critiques d'indice $ \lambda \protect $ dont la valeur critique associée est dans $ ]-\infty ,a]\protect $ .

De ce théorème on tire un corollaire moins riche mais qui suffit à la formule de Gauss-Bonnet.

Théorème 4.7   Soit $ c_{k}(f)\protect $ le nombre de points critiques de f d'indice k. Alors, si $ M $ est compacte, on a

$\displaystyle \chi (M)=\sum ^{d}_{k=0}(-1)^{k}c_{k}(f)$

Démonstration (inspirée de C. GODBILLON, ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE) :

l'idée est que l'on connaît ``à peu près'' les groupes d'homologie du complexe cellulaire étant donné sa construction très simple, et que ces à-peu-près disparaissent quand on effectue la somme alternée des dimensions.

On procède par récurrence. Soient donc deux réels $ a $ et $ b\: (a<b) $ tels qu'il n'y ait qu'une seule valeur critique de $ f $ entre $ a $ et $ b $, et supposons qu'on ait

$\displaystyle \chi (M^{a})=\sum ^{d}_{k=0}(-1)^{k}c^{a}_{k}(f)$

$ c^{a}_{k}(f) $ est le nombre de points critiques de $ f $ d'indice $ k $, à valeur associée dans $ ]-\infty ,a]\protect $. On va montrer que le résultat est aussi vrai pour $ b $. $ f $ étant continue et $ M $ compacte, et les points critiques étant isolés car non dégénérés, il n'y en a qu'un nombre fini, et on peut donc énumérer leurs valeurs associées dans l'ordre croissant. Par récurrence, la démonstration sera donc achevée.

On suppose qu'un seul point critique est associé à la valeur critique entre $ a $ et $ b $, le cas où il y en a plusieurs se traîtant en itérant la démonstration qui suit. D'après le théorème 4.6, on est passé de $ C^{a}\protect $ à $ C^{b} $ en ajoutant une cellule de dimension $ \lambda \protect $, que l'on supposera être la boule unité $ B^{\lambda } $.

Traîtons tout-d'abord le cas $ \lambda =0 $. C'est un cas très particulier puisqu'il n'y a pas d'attachement à proprement parler, étant donné qu'une cellule de dimension 0 (i.e. un point) n'a pas de bord. Le complexe cellulaire $ C^{b} $ est donc le complexe cellulaire $ C^{a}\protect $ auquel on a ajouté un point. On a de manière générale $ H^{q}(C^{b})=H^{q}(C^{a}) $ pour $ q>\lambda $, étant donné que toute forme différentielle de degré $ q>\lambda $, qu'elle soit exacte ou fermée, est nulle sur la cellule attachée de dimension $ \lambda \protect $. Seul $ H^{0} $ est donc affecté; plus précisément, on a ajouté une composante connexe et on a donc $ b_{k}(C^{b})=b_{k}(C^{a})+1 $. La formule proposée est donc valable pour $ b $, étant donné que la somme augmente de 1 et la caractéristique d'Euler aussi.

Dans le cas $ \lambda >0 $, on considère le recouvrement ouvert suivant de $ C^{b} $, où $ \varepsilon $ est un réel fixé de $ ]0,\frac{1}{2}[ $:

$ U_{1}=\{x\in C^{b}\vert x\in C^{a}\: ou\: d(x,S^{\lambda -1})\leq \varepsilon \} $. $ U_{1} $ est le complexe $ C^{a}\protect $ auquel on a ajouté une couronne de la nouvelle boule. $ C^{a}\protect $ est un rétracte par déformation de $ U_{1} $, comme on peut le voir en projetant progressivement la couronne sur la sphère. On a donc $ H^{q}(U_{1})=H^{q}(C^{a}) $ pour tout $ q $.

$ U_{2}=\{x\in B^{\lambda }\vert\parallel x\parallel <1\} $. $ U_{2} $ est une boule ouverte de $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{\lambda } $, dont les groupes de cohomologie sont bien connus. Pour $ q\in {\sf N\hspace*{-1.0ex}\rule{0.15ex}{1.3ex}\hspace*{1.0ex}}^{\star } $, $ H^{q}(U_{2})=\{0\} $.

Pour $ q\in {\sf N\hspace*{-1.0ex}\rule{0.15ex}{1.3ex}\hspace*{1.0ex}}^{\star } $, on écrit la suite exacte longue de Mayer-Vietoris:

$\displaystyle .. \leftarrow H^{q}(U_{1}\cap U_{2})\leftarrow H^{q}(C^{a})\leftarrow H^{q}(C^{b})\leftarrow H^{q-1}(U_{1}\cap U_{2}) \leftarrow ..$

Le cas $ \lambda =1 $ se traîte aussi à part. Supposons que le nombre de composantes connexes de $ C^{a}\protect $ soit égal à $ \alpha $ ( $ \alpha =b_{0}(C^{a}) $). On n'a pas ajouté de composante connexe en attachant une cellule de dimension 1, et le nombre de composantes connexes de $ C^{b} $ vaut aussi $ \alpha $. Ecrivons la suite longue de Mayer-Vietoris:

$\displaystyle H^{0}(C^{b})\rightarrow H^{0}(U_{1})\bigoplus H^{0}(U_{2})\righta...
...rightarrow H^{1}(U_{1})\bigoplus H^{1}(U_{2})\rightarrow H^{1}(U_{1}\cap U_{2})$

En remplaçant les groupes connus par leur expression, on obtient:

$\displaystyle 0\rightarrow {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0...
....9ex}}^{2}\rightarrow ^{f}H^{1}(C^{b})\rightarrow ^{g}H^{1}(C^{a})\rightarrow 0$

En étudiant cette suite on trouve que $ b_{1}(C^{b})=b_{1}(C^{a})+1 $. Ceci prouve que la formule est aussi valable pour $ b $.

On continue la démonstration dans le cas $ \lambda >1 $.

$ U_{1}\cap U_{2} $ est une couronne de la boule ajoutée. Etant donné que la couronne se rétracte sur la sphère, on connaît les groupes de cohomologie:

$\displaystyle \forall \: q\in 1..\lambda -2,\: H^{q}(U_{1}\cap U_{2})=\{0\}$

$\displaystyle H^{\lambda -1}(U_{1}\cap U_{2})={\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$

On en déduit pour $ q\in 2..\lambda -2 $ (avec la convention habituelle selon laquelle $ i..j =\oslash$ si $ j<i $) la suite exacte suivante:

$\displaystyle 0\leftarrow H^{q}(C^{a})\leftarrow H^{q}(C^{b})\leftarrow 0$

D'où $ H^{q}(C^{a})\cong H^{q}(C^{b}) $. Le cas $ q=1 $ se traîte avec la même suite, mais étant donné que $ H ^{0}(U_{1}\cap U_{2})={\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$ on doit considérer une suite un peu plus longue. On arrive au même résultat $ H^{1}(C^{a})\cong H^{1}(C^{b}) $.

Pour $ q=0 $, étant donné que l'on n'a pas ajouté de composante connexe en attachant la cellule, $ H^{0}(C^{a})=H^{0}(C^{b}) $.

Seuls les groupes de cohomologie d'ordres $ \lambda \protect $ et $ \lambda -1 $ peuvent donc être affectés par l'ajout de la cellule. On a la suite exacte suivante:

$\displaystyle 0\leftarrow H^{\lambda }(C^{a})\leftarrow ^{f_{1}}H^{\lambda }(C^...
...g_{1}}H^{\lambda -1}(C^{a})\leftarrow ^{g_{2}}H^{\lambda -1}(C^{b})\leftarrow 0$

Deux cas se présentent alors:

Pour résumer, $ \mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda -1}(C^{b})]=\mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda -1}(C^{a})]-\eta $, $ \eta \in \{0,1\} $, et $ \mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda }(C^{b})]=\mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda }(C^{a})]+(1-\eta ) $.

$\displaystyle \chi (M^{b})=\sum ^{d}_{k=0}(-1)^{k}b_{k}(M^{b})=\sum _{k\neq \la...
...^{b})+(-1)^{\lambda -1}b_{\lambda -1}(M^{b})+(-1)^{\lambda }b_{\lambda }(M^{b})$

$\displaystyle \chi (M^{b})=\chi (M^{a})-(-1)^{\lambda -1}\eta +(-1)^{\lambda }(1-\eta )=\chi (M^{a})+(-1)^{\lambda }$

L'initialisation de la récurrence se fait en remarquant que $ f $ étant continue et $ M $ compacte, $ f(M)\subset [c,d] $. Comme $ M^{c-1}=\oslash $, $ \chi (M^{c-1})=0 $; or $ c^{c-1}_{k}(f)=0 $ pour tout k.

Etant donné que $ M^{d}=M $, la preuve du théorème 4.7 est achevée.

$ \triangleleft $


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