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Eléments d'homologie

Ce paragraphe est plus étendu que ne l'exigeait strictement la démonstration de la formule de Gauss-Bonnet, mais il permet de montrer ce qu'est la caractéristique d'Euler d'une manière plus parlante que la somme des dimensions des espaces de de Rham.

Il existe de nombreuses théories d'homologie différentes, chacune ayant ses avantages et ses inconvénients, chacune étant plus ou moins adaptée à l'étude de certains types de trous dans les espaces considérés. Les axiomes d'Eilenberg et Steenrod, énoncés en 1952, permettent de décrire de manière homogène les éléments communs à ces théories. Ce qui suit est une description simplifiée, tirée de M. HENLE, A COMBINATORIAL INTRODUCTION TO TOPOLOGY.

Une théorie d'homologie doit associer, à chaque espace $ E $ d'une classe assez générale, une suite de groupes $ (H_{i}(E)) $. A toute transformation continue $ f:E\rightarrow F $ d'un espace dans un autre, elle doit associer une suite de morphismes des groupes d'homologie $ H_{i}(f):H_{i}(E)\rightarrow H_{i}(F) $. On doit avoir $ H_{i}(Id)=Id $, $ H_{i}(f\circ g)=H_{i}(f)\circ H_{i}(g) $, deux applications homotopes doivent définir les mêmes groupes, et les groupes d'homologie d'un espace réduit à un point doivent être triviaux.

Le résultat remarquable est que, dans le cas des complexes cellulaires, les théories satisfaisant aux axiomes d'Eilenberg et Steenrod donnent les mêmes invariants.



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