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Produit intérieur d'une forme différentielle $ \alpha \in \Omega ^{r}(X)$ par un champ de vecteurs $ \xi $ :

Cela consiste à remplacer en chaque point le premier vecteur tangent par le vecteur donné par le champ, pour obtenir une forme différentielle dont le degré est diminué de 1:

$\displaystyle (\mathop{\rm int}\nolimits (\xi ).\alpha )(x)(v_{1},..,v_{r-1})=\alpha (x)(\xi (x),v_{1},..v_{r-1})$

A l'aide du produit intérieur, une forme volume $ \alpha $ sur $ X $ de dimension $ d $ détermine un isomorphisme entre les champs de vecteurs sur $ X $ et les formes différentielles de degré $ d-1 $, comme on le voit avec la formule suivante où $ U\protect $ est un ouvert de $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{d} $:

$\displaystyle \mathop{\rm int}\nolimits (\xi )\alpha _{\vert U}=\sum _{i=1}^{d}(-1)^{i-1}a.\xi _{i}dx_{1}\wedge ..\wedge \widehat{dx_{i}}\wedge dx_{d}$