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Equations différentielles

On peut reprendre pour l'étude des équations différentielles sur des variétés les outils utilisés dans le cas de $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{n} $ (théorèmes d'unicité, flot, groupes de difféomorphismes, etc.). Un théorème intéressant, et qui n'a pas d'équivalent dans le cas de $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{n} $, est le suivant:

Théorème 5.1   Soit $ \xi $ un champ de vecteurs sur $ X $ variété compacte. Soit $ D(\xi )=\{(t,x)\in {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}\times X\vert t\in J(x)\} $$ J(x) $ est l'intervalle maximal de définition de la courbe intégrale maximale passant par $ x $. Alors $ D(\xi )={\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}\times X $. Si $ G_{t} $ est l'application de flot déplaçant suivant la courbe intégrale pendant une durée $ t $, $ G_{t} $ est un difféomorphisme.

Le fait que l'intervalle de définition soit $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$ en entier provient du fait que la solution ne peut ni arriver à la frontière du domaine de définition comme dans le cas d'un ouvert de $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{n} $, ni ``partir à l'infini''.

Démonstration (partielle): pour $ x\in X $, on définit l'ouvert $ U_{x} $ sur lequel la courbe intégrale est définie (on connaît l'existence locale de cette courbe intégrale); $ X $ étant compacte se recouvre avec une nombre fini des ouverts $ U_{x\: },x\in X $.