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Théorème de Moser

Théorème 5.2   Si $ X $ est une variété compacte, orientée, et connexe de dimension $ d $, $ H_{DR}^{d}(X)\cong {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$.

On admet que $ H_{DR}^{d}(X) $ est de dimension au plus 1, ce qui provient du fait que toute forme différentielle de degré maximal sur $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{n} $ à support compact et d'intégrale nulle admet une primitive à support compact (la démonstration étant pénible).

La variété $ X $ étant orientée, on choisit naturellement comme morphisme l'intégration, qui passe au quotient (comme on le voit avec le théorème de Stokes). $ X $ étant orientée, il existe une forme d'intégrale non nulle, ce qui prouve que le morphisme ainsi défini est surjectif. Du fait des dimensions, $ H_{DR}^{d}(X)\cong {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$.

$ \triangleleft $

On déduit de cette démonstration que les formes exactes de degré $ d $ sont exactement celles qui sont d'intégrale nulle.

Théorème 5.3   Théorème de Moser: soit $ X $ une variété compacte, connexe, orientée de dimension $ d $, $ \alpha $ et $ \beta $ deux formes volumes telles que $ \int _{X}\alpha =\int _{X}\beta $. Alors il existe $ f\in \mathop{\rm Diff}\nolimits (X) $ tel que $ \beta =f^{*}\alpha $.

Démonstration

On définit une famille de formes volumes par $ \forall \: t\in [0,1],\: \alpha _{t}=(1-t)\alpha +t\beta $. D'autre part, $ \alpha -\beta $ étant d'intégrale nulle, $ \exists \: \gamma \in \Omega ^{d-1}(X) $ vérifiant $ d\gamma =\alpha -\beta $. Il existe de plus un champ de vecteurs $ \xi $ tel que $ \mathop{\rm int}\nolimits (\xi )\alpha =-\gamma $. Soit $ F $ le flot global de $ \xi $, qui existe car $ X $ est compacte. La formule de dérivation des applications composées montre que

$\displaystyle \frac{d(F_{t}^{\star }\alpha _{t})}{dt}(t)=\frac{d(F_{s}^{\star }\alpha _{t})}{ds}(t)+F_{t}^{\star }(\beta -\alpha )$

En admettant que pour une forme fermée $ \omega $

$\displaystyle \frac{d(F_{s}^{\star }\omega )}{ds}(t)=F_{t}^{\star }(d(\mathop{\rm int}\nolimits (\xi )\omega )$

on trouve finalement

$\displaystyle \frac{d(F_{t}^{\star }\alpha _{t})}{dt}(t)=F_{t}^{\star }(d(-\gamma ))+F_{t}^{\star }(\beta -\alpha )=0$

Donc $ F^{\star }_{1}\beta =\alpha $, et le difféomorphisme recherché est $ F^{-1}_{1} $.

$ \triangleleft $


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