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Degré d'une application

Soient $ X $ et $ Y\protect $ deux variétés connexes, compactes, orientées, de même dimension $ d $, et $ f\in C^{\infty }(X,Y) $. Alors il existe un entier relatif appelé degré de $ f $ et noté $ \mathop{\rm deg}\nolimits (f) $ tel que

  1. $ \forall   \omega   \in \Omega ^{d}(Y),\; $ $ \int _{X}f^{*}\omega =\mathop{\rm deg}\nolimits (f)\int _{Y}\omega $

  2. $ \forall   y  \in Y $ régulier (ie tel que $ \forall   x  \in X  f(x)=y, $$   f $ est une submersion en $ x $), on a $ \mathop{\rm deg}\nolimits (f)=\sum _{y\in f^{-1}(x)}\mathop{\rm signe}\nolimits (J_{x}(f)) $

Démonstration

A $ f $ on associe $ f^{\star }:H_{DR}^{d}(Y)\rightarrow H_{DR}^{d}(X) $. D'après 5.2, $ H_{DR}^{d}(X) $ et $ H_{DR}^{d}(Y) $ sont isomorphes à $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$ par l'application d'intégration. On obtient donc naturellement un morphisme $ \overline{f^{\star }}:{\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}\rightleftharpoons {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$ (qui est la multiplication par un réel $ k $) tel que

$\displaystyle \overline{f^{\star }}\circ I_{Y}=I_{X}\circ f^{\star }$

ce qui montre que $ \forall   \omega   \in \Omega ^{d}(Y),\; $ $ \int _{X}f^{*}\omega =k\int _{Y}\omega $.

Le fait que $ k $ soit entier résulte de la deuxième partie de la proposition, et de la propriété signalée en 5.5 selon laquelle $ f $ possède au moins une valeur régulière.

Soit $ y\in Y\protect $ valeur régulière de $ f $. On peut alors appliquer la propriété de ``revêtement local'' 5.4, dont on reprend les notations, en choisissant le voisinage $ V\protect $ connexe. On peut choisir une forme différentielle de degré maximal $ \omega $, à support dans $ V\protect $, et d'intégrale non nulle sur $ Y\protect $. Etant donné que $ Supp(f^{\star }\omega )\subset f^{-1}(V) $, $ \int _{X}f^{\star }\omega =\sum ^{n}_{i=1}\int _{U_{i}}f^{\star }\omega $.

$ f_{\mid U_{i}} $ est un difféomorphisme de $ U_{i} $ sur $ V\protect $ connexe, et préserve donc ou renverse les orientations. Donc $ \int _{U_{i}}f^{\star }\omega =\mathop{\rm signe}\nolimits (J_{x_{i}}f)\int _{Y}\omega $, d'où on déduit la formule annoncée.

$ \triangleleft $


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