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Application aux champs de vecteurs sur la sphère

Théorème 6.1   Il existe un champ de vecteurs $ C^{\infty } $ partout non nul sur la sphère $ S^{d} $ si et seulement si d est impair.

Corollaire: au même instant, il ne peut y avoir du vent partout sur la Terre .

Un champ de vecteurs $ C^{\infty } $ sur $ X $, jamais nul défini sur $ S^{2d-1} $ est le suivant, où l'on utilise l'identification entre $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{2} $et le corps des complexes:

$\displaystyle Y(z_{1},..,z_{d})=(iz_{1},..,iz_{d}) $

Supposons $ d $ pair et que $ Y\protect $ soit un champ de vecteurs continu, jamais nul sur $ S^{d} $ . On peut alors définir

$\displaystyle Z:  S^{d}\rightarrow S ^{d} $

$\displaystyle t\longmapsto \frac{Y(t)}{\Vert Y(t)\Vert } $

On peut alors définir l'homotopie suivante:

$\displaystyle F:{\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}\times S^{d}\rightarrow S^{d} $

$\displaystyle (t,x)\longmapsto cos(\Pi t)x  +  sin(\Pi t)Z(x) $

$ F $ est une homotopie entre l'identité et l'antipodie, qui sont de degrés différents, ce qui est absurde.

$ \triangleleft $