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Indices des champs de vecteurs

On considère un champ de vecteurs $ \xi $ $ C^{\infty } $ sur un ouvert $ U\protect $ de $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{d} $, tel que $ m $ soit un zéro isolé de $ \xi $.

L'indice de $ \xi $ en $ m\: \mathop{\rm Ind}\nolimits _{m}\xi $ est le degré de l'application

$ F:S^{d}\rightarrow S^{d} $

$ x\mapsto \frac{X(m+\varepsilon x)}{\Vert X(m+\varepsilon x)\Vert } $, degré qui est le même pour tout $ \varepsilon $ tel que $ \xi $ ne s'annule qu'en $ m $ sur $ B(m,\varepsilon ) $.

Lemme 6.2   Si $ \varphi :\Re ^{n}\rightarrow \Re ^{n}\protect $ est un difféomorphisme, $ \mathop{\rm Ind}\nolimits _{m}\xi =\mathop{\rm Ind}\nolimits _{\varphi (m)}\varphi _{\star }\xi \protect $

Grâce à cette invariance par difféomorphisme, on peut donner un sens à l'indice d'un champ de vecteurs sur une variété $ C^{\infty } $.

Théorème 6.3   Soit $ \xi $ un champ de vecteurs $ C^{\infty } $ sur $ \Re ^{d}\protect $, dont les zéros dans $ B(0,1)\protect $ sont isolés et notés $ x_{1},..,x_{n}\protect $, et rentrant sur $ S^{d-1}\protect $. Alors $ \sum ^{n}_{i=1}\mathop{\rm indice}\nolimits _{x_{i}}\xi =(-1)^{d}\protect $.

Démonstration:

Les zéros étant en nombre fini, on peut trouver un ensemble de boules $ (B_{i})_{i=1..n} $ de centre $ x_{i} $ et de rayon $ \varepsilon _{i}>0 $ telles que $ i\neq j\Rightarrow B_{i}\cap B_{j}=\oslash $. On note $ D=B(0,1)\setminus \cup _{i=1}^{n}\{x_{i}\} $.

Le champ étant rentrant, il ne s'annule pas sur un voisinage $ U\protect $ de la boule unité privé des points $ (x_{i})_{i=1..n} $. On peut donc définir une fonction $ f\in C^{\infty }(U\setminus \cup ^{n}_{i=1}\{x_{i}\},S^{d-1}) $ comme suit:

$\displaystyle f(x)=\frac{\xi (x)}{\parallel \xi (x)\parallel }$

En notant $ \omega $ la forme volume canonique de $ S^{d-1}\protect $, le théorème de Stokes donne

$\displaystyle \int _{D}d(f^{\star }\omega )=\int _{S^{d-1}}f^{\star }\omega -\sum ^{n}_{i=1}\int _{S(x_{i},\varepsilon _{i})}f^{\star }\omega $

Or $ \int _{D}d(f^{\star }\omega )=0 $ car $ d(f^{\star }\omega )=f^{\star }(d\omega )=f^{\star }(0)=0 $ car $ \omega $ est de degré maximal.

D'après la définition donnée ci-dessus de l'indice d'un champ de vecteurs, on trouve

$\displaystyle \int _{S^{d-1}}f^{\star }\omega =\sum _{i=1}^{n}\mathop{\rm indice}\nolimits _{x_{i}}\xi $

Il reste donc à calculer le membre de gauche. On va montrer que $ f_{\vert S^{d-1}} $ est homotope à l'antipodie $ \sigma $, ce qui d'après les propriétés signalées en 5.3.2 achèvera la démonstration. Soit donc

$\displaystyle F(t,x)=\frac{(1-t)\xi (x)-tx}{\parallel (1-t)\xi (x)-tx\parallel }$

Le champ étant rentrant, le dénominateur de cette expression ne s'annule pas pour $ t\in [0,1] $. Le produit $ [0,1]\times S^{d-1} $ étant compact, et le dénominateur étant une fonction continue du couple $ (t,x) $, il existe $ \alpha \in {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{\star }_{+} $ tel que le dénominateur soit non nul sur $ [-\alpha ,1+\alpha ] $. $ F $ est alors $ C^{\infty } $ sur $ [-\alpha ,1+\alpha ]\times S^{d-1} $, et définit donc une homotopie.

$ \triangleleft $

Le théorème suivant est cité parce qu'il donne une généralisation intéressante des résultats précédents, mais sa démonstration n'est pas aisée. La caractéristique d'Euler d'une variété à bord peut être calculée à l'aide de la cohomologie de de Rham, en utilisant la notion de cohomologie relative (dans cette cohomologie, on considère les formes différentielles qui s'annulent sur un sous-espace de l'espace étudié, par exemple qui s'annulent sur son bord).

Théorème 6.4   Théorème de Poincaré-Hopf: soit X une variété $ C^{\infty } $ compacte à bord, $ \xi $ un champ de vecteurs $ C^{\infty } $ sur X, sortant sur le bord, et dont les zéros sont isolés. Alors on a

$\displaystyle \chi (X)=\sum _{\{x\vert\xi (x)=0\}}\mathop{\rm Ind}\nolimits _{x}\xi $

On voit en particulier que si la caractéristique d'Euler est non nulle, tout champ de vecteurs doit s'annuler. Dans le cas de la sphère de $ {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{2n+1} $, il n'existe donc pas de champ de vecteurs jamais nul: on retrouve le résultat précédent.


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