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Formule de Gauss-Bonnet

L'application de Gauss est $ \gamma :NUX\rightarrow S(E),(x,v)\mapsto v $.

Soit $ f_{(x,v)}\in C^{\infty }(X) $ définie de la manière suivante pour $ (x,v)\in NUX $:

$ f_{(x,v)}(y)=<v\mid y> $.

Lemme 7.1   $ f_{(x,v)} $ admet en $ x $ un point critique non dégénéré si et seulement si $ (x,v) $ n'est pas un point critique de $ \gamma $. Si $ E $ est de dimension paire, on a $ \mathop{\rm signe}\nolimits (J_{(x,v)}\gamma )=(-1)^{\mathop{\rm indice}\nolimits _{x}f(x,v)} $.

Théorème 7.2   Soit $ X $ une sous-variété compacte de dimension $ d $ paire de $ E $ espace vectoriel euclidien de dimension $ n $. On a $ \mathop{\rm deg}\nolimits (\gamma )=\chi (X) $, et $ \int
_{X}K_{d}\delta =\chi (X).\mathop{\rm Volume}\nolimits (S^{n-1}) $, cette dernière formule étant la formule de Gauss-Bonnet.

Démonstration (avec les mêmes notations que ci-dessus)

On est dans le bon cadre pour appliquer la théorie du degré car $ S(E) $ et $ NUX $ sont des variétés compactes connexes, de même dimension $ n-1 $, et orientées de manière canonique.

D'après 5.5, $ \gamma $ possède une valeur régulière $ v\in S(E) $. $ \gamma ^{-1}(v)=\bigcup ^{n}_{i=1}\{(x_{i},v\}\} $ est donc fini. Soit $ f_{v}:X\rightarrow {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}},\: y\longmapsto <v\mid y> $ . $ f_{v} $ est critique en $ y $ si et seulement si $ v\in N_{y}X $, soit $ \gamma (y,v)=v $, i.e. $ y=x_{i} $ pour un certain $ i $. $ v $ étant valeur régulière de $ \gamma $ par hypothèse, les $ x_{i} $ sont des points critiques non dégénérés d'après 7.1. En application de 4.7 on a

$\displaystyle \chi (X)=\sum ^{d}_{k=0}(-1)^{k}c_{k}(f_{v})=\mathop{\rm Card}\no...
...ert\mathop{\rm indice}\nolimits _{x_{i}}f_{v}\: \mathop{\rm impair}\nolimits \}$

$ E $ étant de dimension paire, 7.1 donne encore

$\displaystyle \chi (X)=\mathop{\rm Card}\nolimits \{x_{i}\vert\mathop{\rm signe...
...signe}\nolimits (J_{(x_{i},v)}\gamma )=-1\}=\mathop{\rm deg}\nolimits (\gamma )$

D'après 1.2, $ \int _{X}K_{d}\delta =\int _{NUX}\gamma ^{\star }\Sigma
=\mathop{\rm deg}\noli...
...Sigma =\mathop{\rm Volume}\nolimits (S(E)).\mathop{\rm deg}\nolimits (\gamma ) $.

Donc

$\displaystyle \int _{X}K_{d}\delta =\chi (X).\mathop{\rm Volume}\nolimits (S^{n-1})$

$ \triangleleft $

Corollaire 7.3   Dans le cas $ d=2 $, $ \mathop{\rm Volume}\nolimits (\mathop{\rm TUB}\nolimits ^{\varepsilon }(X))=\v...
...1))+\frac{\varepsilon ^{n}}{n}.\mathop{\rm Volume}\nolimits (S^{n-1}).\chi (X) $

La propriété remarquable de la formule de Gauss-Bonnet est que l'on relie l'intégrale de la courbure de Weyl à un invariant de la variété, de manière indépendante du plongement de la variété dans un espace euclidien.


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