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Quelques résultats globaux sur les variétés

Mémoire de Travail d'Etude et de Recherche, soutenu en mai 1999 pour l'obtention de la Maîtrise de Mathématiques Pures de l'Université Joseph Fourier

Olivier Cinquin

Tuteur: Pr. Jean-Pierre Demailly

Résumé:

L'objectif principal de ce TER est la démonstration de la formule de Gauss-Bonnet, qui fait l'objet de la section 7. La démonstration de cette formule est axée sur la théorie du degré et sur la théorie des points critiques de Morse, cette dernière reposant sur un important appareil d'homologie, qui est développé dans ce TER de manière incomplète par manque de temps et d'espace. L'utilisation de l'homologie n'est pas une manière détournée de démontrer une formule qui lui serait étrangère, puisqu'apparaît dans la formule de Gauss-Bonnet la caractéristique d'Euler de la variété à laquelle elle s'applique, caractéristique à laquelle on peut associer diverses significations de nature topologique, et qui est naturellement un invariant topologique (i.e. par homéomorphisme). Si l'on peut regretter de ne pas être en mesure d'apprécier pleinement l'intérêt de la formule que l'on démontre, il n'en reste pas moins que les méthodes employées pour arriver à cette démonstration sont une application intéressante du cours de géométrie différentielle, et qu'elles permettent de découvrir un domaine des mathématiques, celui de la topologie, dont la richesse est indéniable.

Note: les variétés considérées, ainsi que les fonctions que l'on définit dessus, sont implicitement considérées de classe $ C^{\infty } $, à moins qu'il n'en soit précisé autrement.




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