Préliminaires intégraux: volumes des tubes

On considère une sous-variété $X$ de dimension $d$ d'un espace $E$ euclidien de dimension $n$. On procède alors aux définitions suivantes:

• $N_{x}X=(T_{x}X)^{\perp }$ est l'espace normal à $X$ en $x$.

• $NX=\{(x,v)\vert x\in X,v\in N_{x}X\}$ est le fibré normal à $X$. C'est une sous-variété de dimension $n$ de $X\times E$.

• On pose $N^{\varepsilon }X=\{(x,v)\vert x\in X,v\in N_{x}X,\parallel v\parallel <\varepsilon \}$.

• $NUX=\{(x,v)\vert x\in X,v\in N_{x}X,\parallel v\parallel =1\}$ est le fibré normal unitaire. $NUX$ est de dimension $n-1$.

• $\mathop{\rm can}\nolimits :NX\rightarrow E,(x,v)\longmapsto x+v$ est l'application canonique.

• $\mathop{\rm TUB}\nolimits ^{\varepsilon }(X)=can(N^{\varepsilon }X)$ est le voisinage tubulaire de $X$ de rayon $\varepsilon$.

On va déterminer des densités sur les variétés définies ci-dessus de manière à ce qu'elles soient aussi canoniques que possible et qu'elles possèdent de bonnes propriétés pour l'intégration.

Lemme 1.1   Il existe des densités $\Delta \protect$ sur $NX\protect$ et $\Psi \protect$ sur $NUX$ telles que l'on ait les propriétés suivantes:

$$\int _{NX}f.\Delta =\int _{X}\int _{N_{x}X}f.\varepsilon _{x}.\delta$$

$$\int _{NUX}f.\Psi =\int _{X}\int _{\{x\}\times NU_{x}X}f.\tau _{x}.\delta$$

pour toute fonction $f$ intégrable.

(où $\varepsilon _{x}$, $\tau _{x}$, et $\delta$ sont les densités canoniques données par la structure euclidienne)

En notant $\Delta _{0}$ la densité canonique de $E$, on définit naturellement le volume suivant:

$$\mathop{\rm Volume}\nolimits (\mathop{\rm TUB}\nolimits ^{\vareps... ...s ^{\varepsilon }X}\Delta _{0}=\int _{N^{\varepsilon }X}can^{\star }\Delta _{0}$$

On cherche à exprimer $can^{\star }\Delta _{0}$ sous la forme $G\Delta$ où $\Delta \protect$ est la densité sur $NX\protect$ définie ci-dessus.

$G$ s'écrit nécessairement sous la forme suivante:

$$G=\sum _{i=0}^{d}W_{i}$$

où $\forall i,W_{i}\in C^{\infty }(NX)$ et pour tout $x$ fixé, $v\longmapsto W_{i}(x,v)$ est un polynôme homogène de degré $i$ sur l'espace vectoriel $N_{x}X$.

On obtient donc la formule suivante:

$$\mathop{\rm Volume}\nolimits (\mathop{\rm TUB}\nolimits ^{\vareps... ...X}\sum ^{d}_{i=0}\int _{N^{\varepsilon }_{x}X}W_{i}(x,v)\varepsilon _{x}\delta$$

Cela conduit à calculer calculer chaque terme de la somme en faisant sortir $\varepsilon$ de l'intégrale, de manière à obtenir pour le volume un polynôme en $\varepsilon$. Par un changement de coordonnées polaire, on obtient

$$\int _{N^{\varepsilon }_{x}X}W_{i}(x,v)\varepsilon _{x}\delta =\frac{\varepsilon ^{n-d+i}}{n-d+i}\int _{NU_{x}X}W_{i}(x,v)\tau _{x}$$

où $\tau _{x}$ est la densité canonique de $NU_{x}X$.

Définition 1.2   On définit la 2i-ème courbure de Weyl de X sous-variété de E de la manière suivante:

$K_{2i}(x)=\int _{NU_{x}X}W_{i}(x,v)\tau _{x}$ pour $i=0..[\frac{d}{2}]$

On a $\int _{NUX}W_{d}\psi =\int _{X}(\int _{NU_{X}X}W_{d}\tau _{x})\delta =\int _{X}K_{d}\delta =\int _{NUX}W_{d}\Theta =\int _{NUX}\gamma ^{\star }\Sigma$

où $\Theta$ est la forme volume canonique de $NUX$ et $\Sigma$ la forme volume canonique sur $S(E)$ déduite de celle de $E$.