Caractéristique d'Euler

$\chi (X)=\Sigma _{k=0}^{d}(-1)^{k}b_{k}(X)$ est la caractéristique d'Euler de l'espace topologique $X$. Dans le cas des complexes cellulaires, elle peut être interprétée avec toute théorie d'homologie vérifiant les axiomes énoncés plus haut. A l'aide de l'homologie simplicale, on peut prouver que si l'espace considéré est un complexe cellulaire de rang fini, alors $\chi (X)=\sum _{k\in {\sf N\hspace*{-1.0ex}\rule{0.15ex}{1.3ex}\hspace*{1.0ex}}}(-1)^{k}n_{k}(X)$ où $n_{k}(X)$ est le nombre de cellules de dimension $k$.

Pour la sphère $S^{d}$, $\chi (S^{d})=1+(-1)^{d}$, et si on note $S$, $C$, et $F$ respectivement le nombre de sommets, de côtés, et de faces d'une triangulation, on a toujours $S-C+F=1+(-1)^{d}$. On voit que la caractéristique d'Euler est assez facile à calculer.

On peut aussi remarquer que la sphère est la seule surface compacte, connexe, dont le nombre de connectivité est 0 (c'est à dire que l'on ne peut tracer aucune courbe fermée sur la sphère telle que la sphère privée de cette courbe soit toujours connexe), et à partir de là démontrer que la sphère de dimension 2 est la seule surface à avoir caractéristique d'Euler 2, les autres étant toujours plus petites.

Les deux paragraphes suivants sont tirés de J. MILNOR, MORSE THEORY, à l'exception de la section , tirée de M. BERGER, B. GOSTIAUX, GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE: VARIÉTÉS, COURBES ET SURFACES.