Eléments d'homotopie

Les définitions données dans cette section seront utilisées pour la théorie de Morse, qui servira à la démonstration de la formule de Gauss-Bonnet .

Définition 3.1   Soient $X$ et $Y\protect$ deux variétés, $f,g\in (C^{\infty }(X,Y))^{2}\protect$. On dit que $f$ et $g\protect$ sont homotopes si

$$\exists \: F:[0,1]\times X\rightarrow Y$$

vérifiant:

• $\forall t\in [0,1],\: F_{t}\in C^{0 }(X,Y)$

• Toutes les dérivees partielles de $F$ par rapport à $x$ existent et sont continues.

Définition 3.2   Deux espaces X et Y ont même type d'homotopie s'il existe un couple d'applications $f\in C^{0}(X,Y), g\in C^{0}(Y,X)$ telles que $g\circ f\protect$ et $f\circ g\protect$ soient homotopes à l'identité de X et Y respectivement. $f$ est alors une équivalence homotopique de $X$ à $Y\protect$.

Deux espaces ayant même type d'homotopie ont en particulier des groupes de cohomologie isomorphes.