Lemme de Whitehead

Ce lemme dit que si l'on attache à un espace $X$ une cellule $e^{\lambda }$ en identifiant les points du bord de la cellule à leur image par une certaine fonction $\varphi$ (les ouverts de la topologie quotient étant donnés par les images réciproques par la projection des ouverts de l'espace $X\bigsqcup e^{\lambda }$), les espaces obtenus sont tous du même type d'homotopie lorsque $\varphi$ décrit une classe d'équivalence homotopique. Plus précisément, cela donne:

Soient $\varphi _{0}$ et $\varphi _{1}$ des applications homotopes de $\partial e^{\lambda }$ dans $X$. Alors à partir de l'identité sur $X$ on obtient une équivalence homotopique $K:X\cup _{\varphi _{0}}e^{\lambda }\rightarrow X\cup _{\varphi _{1}}e^{\lambda }$.

Lemme 3.3  

Soit $\varphi$ une applications de $\partial e^{\lambda }$ dans $X$. Alors toute équivalence homotopique $f$ de $X$ à $Y\protect$ donne une équivalence homotopique $F$ de $X\cup _{\varphi }e^{\lambda }$ à $Y\cup _{f\circ \varphi }e^{\lambda }$.