Lemme de Morse

On commence par le lemme de Morse sur l'existence d'un système de coordonnées local dans lequel une fonction possédant un point critique non dégénéré s'exprime comme sommes et différences des carrés des coordonnées. On a besoin de deux lemmes de ``factorisation'' des 0 d'une fonction $C^{\infty }$.

Lemme 4.1   Soit $U\protect$ un ouvert de $\Re ^{2}$ étoilé en $0\protect$, $f\in C^{\infty }(U,\Re )\protect$ telle que $f(0,0)=0\protect$. Alors $\exists (g,h)\in (C^{\infty }(U,\Re ))^{2}\: f(x,y)=xg+yh$.

On a

$$f(x,y)=\int _{0}^{1}\frac{d}{dt}f(xt,yt)dt=x\int ^{1}_{0}\frac{\p... ...al f}{\partial x}(xt,yt)dt+y\int ^{1}_{0}\frac{\partial f}{\partial y}(xt,yt)dt$$

On obtient la régularité des fonctions trouvées par les théorèmes de dérivation sous le signe somme.

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Lemme 4.2   Si de plus $f'(0,0)=0\protect$, alors $\exists (u,v,w)\in (C^{\infty }(U,\Re ))^{2}\: f(x,y)=x^{2}u+2xyv+y^{2}w\protect$

On a $g(0,0)=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$, d'où d'après le lemme précédent $g(x,y)=xu+yv_{1}$. De même, $h(x,y)=xv_{2}+yw$.

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Lemme 4.3   Lemme de Morse: soit $X$ une variété, $f\in C^{\infty }(X)\protect$, $x$ un point critique non-dégénéré de $f$ d'indice $i$. Alors il existe une carte $(U,\varphi )\protect$ centrée en $x$ telle que si on note $(x_{1},..,x_{n})\protect$ les coordonnées locales, on ait $(f\circ \varphi ^{-1})(x_{1},..,x_{n})=-x^{2}_{1}-..-x^{2}_{i}+x^{2}_{i+1}+..+x^{2}_{n}\protect$.

Démonstration (dans le cas $n=2$):

A l'aide d'une carte on se ramène au cas d'une fonction $f$ définie sur un ouvert $U\protect$ de ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{2}$ (choisi tel qu'il soit étoilé en 0, ce qui par restriction est toujours possible, ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{2}$ étant un espace localement convexe), $f$ étant telle que $f(0)=0$. D'après le lemme précédent, il existe des fonctions lisses $u$, $v$, et $w$ telles que $f(x,y)=ux^{2}++2vxy+wy^{2}$.

Soient les réels $r$, $s$, et $t$ définis de la manière suivante: $r=u(0,0)=\frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}(0,0)$, $t=w(0,0)=\frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}(0,0)$, $s=v(0,0)=\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)$.

La dérivée seconde étant supposée non dégénérée en 0, on a $rt-s^{2}\neq 0$. On distingue plusieurs cas.

Si $r\neq 0$, $u$ ne s'annule pas sur un voisinage $U'$ de 0. Supposons $u>0$, le cas $u<0$ se traîtant de la même manière. On peut écrire sur $U'$

$$f(x,y)=u(x+\frac{v}{u}y)^{2}+y^{2}(w-\frac{v^{2}}{u})$$

Si $rt-s^{2}>0$, on a $w-\frac{v^{2}}{u}>0$ dans un voisinage $U''$ de 0. Donc on peut écrire $f=\mathop{\rm signe}\nolimits (r)\xi ^{2}+\eta ^{2}$, avec

$$\xi =\sqrt{u}(x+\frac{v}{u}y),\: \eta =\sqrt{w-\frac{v^{2}}{u}}y$$

Il reste à montrer que les coordonnées ainsi définies définissent bien un difféomorphisme de $U''$ sur un ouvert de ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{2}$, ce qui provient du fait que la différentielle de l'application coordonées est bijective en tout point de $U''$, cette différentielle s'écrivant

$u(0,0)$	$v(0,0)$
$0\protect$	$\sqrt{w(0,0)-\frac{v^{2}(0,0)}{u(0,0)}}$

<>

Le déterminant est $r\sqrt{t-\frac{s^{2}}{r}}\neq 0$.

Si $rt-s^{2}<0$, $f$ s'écrit $f=\xi ^{2}-\eta ^{2}$, avec $\eta =y\sqrt{\frac{v^{2}}{u}-w}$.

Le cas $t\neq 0$ se traîte de la même manière (les rôles des deux variables $x$ et $y$ sont évidemment symétriques). Reste donc le cas $r=t=0$. On effectue alors le changement de variables $(x,y)\mapsto (\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$.

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