Théorie de Morse

Dans la suite $f$ est une fonction C $^{\infty }$ d'une variété sans bord $M$ de dimension $d$, à valeurs dans ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$, dont les points critiques ne sont pas dégénérés. Soit

$M^{a}=f^{-1}]-\infty ,a]$

Théorème 4.4   Si $a<b$, $f^{-1}[a,b]\protect$ est compact et ne contient aucun point critique de f, alors $M^{a}\protect$ est un rétracte par déformation de $M^{b}\protect$.

La rétraction se fait en suivant les lignes de gradient de $f$. On définit la fonction $\rho \in C^{\infty }(M,{\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}})$ de la manière suivante: $\rho=\frac{1}{\parallel \mathop{\rm grad}\nolimits (f)\parallel ^{2}}$ (on suppose avoir choisi une métrique riemannienne) dans un voisinage compact de $f^{-1}[a,b]\protect$, $\rho =0$ ailleurs. Comme on peut le voir de la même manière qu'en 5.1.2, le champ de vecteurs $X_{q}=\rho (q)\mathop{\rm grad}\nolimits (f)_{q}$ génère un groupe à un paramètre de difféomorphismes $\varphi _{t}$.

On cherche à calculer la variation de $f$ le long d'une courbe intégrale pour $q\in f^{-1}[a,b]$ fixé, et on a choisi $\rho$ de manière que cette variation soit très simple:

$$\frac{df(\varphi _{t}(q))}{dt}=<\frac{d\varphi _{t}(q)}{dt},\mathop{\rm grad}\nolimits (f)>=<X,\mathop{\rm grad}\nolimits (f)>=1$$

On définit $r:[0,1]\times M^{b}\rightarrow M^{b}$ de la manière suivante: $r(t,q)=q$ si $f(q)\leq a$, $r(t,q)=\varphi _{t(a-f(q))}(q)$ sinon. $r$ est une rétraction de $M^{b}\protect$ sur $M^{a}\protect$.

$\triangleleft$

Théorème 4.5   Soit $p$ un point critique (non-dégénéré) de $f$, d'indice $\lambda \protect$ ( $\lambda \protect$ est la dimension maximale d'un sous-espace où la dérivée seconde est définie négative). En écrivant $c=f(p)$, pour $\varepsilon$ assez petit, si $f^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])\protect$ est compact et ne contient qu'un point critique de $f$, alors $M ^{c+\varepsilon }$ a le type d'homotopie de $M^{c-\varepsilon }\protect$ avec une cellule de dimension $\lambda \protect$ attachée. Dans le cas d'une valeur critique correspondant à plusieurs points critiques, il faut attacher les cellules correspondant à chacun d'entre eux.

D'après le lemme de Morse, dans un voisinage $U\protect$ de $p$ on peut choisir un système de coordonnées $u^{1},..,u^{n}$ tel que $f$ s'exprime de la manière suivante dans ce voisinage:

$$f(u^{1},..,u^{n})=c-(u^{1})^{2}-..-(u^{\lambda })^{2}+(u^{\lambda +1})^{2}+..+(u^{n})^{2}$$

On définit les fonctions $\xi$ et $\eta$ de $U\protect$ dans ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}_{+}$ comme suit:

$$\xi (x)=[u^{1}(x)]^{2}+..+[u^{\lambda }(x)]^{2}$$

$$\eta (x)=[u^{\lambda +1}(x)]^{2}+..+[u^{n}(x)]^{2}$$

Soit $\varepsilon \in {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{\star }_{+}$ tel que $f^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])\protect$ soit compact et ne contienne qu'un seul point critique, et tel que le voisinage $U\protect$ contienne en coordonées locales la boule de centre $0\protect$ et de rayon $2\varepsilon$.

On définit $e^{\lambda }$ de la manière suivante: $e^{\lambda }=\{x\in U\vert\xi (x)\leq \varepsilon ,\: \eta (x)=0\}$.

On a $e^{\lambda }\bigcap M^{c-\varepsilon }=\partial e^{\lambda }$, et on peut donc considérer que $e^{\lambda }$ est rattachée à $M^{c-\varepsilon }\protect$ par l'inclusion. On va montrer que $M^{c-\varepsilon }\bigcup e^{\lambda }$ est un rétracte par déformation de $M ^{c+\varepsilon }$, ce qui montrera que ces deux espaces ont même type d'homotopie.

On va modifier la fonction $f$ au voisinage de $p$ de manière à obtenir une nouvelle fonction $F$ à laquelle on pourra appliquer le théorème 4.4. Pour cela on a besoin d'une fonction auxiliaire $\mu \in C^{\infty }({\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}},{\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}})$ ayant les propriétés suivantes:

• $\mu (0)>0$

• $\forall \: r\in {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}\: r\geq 2\varepsilon ,\: \mu (r)=0$

• $\forall \: r\in {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}},\: -1<\mu '(r)<0$

$F$ coïncide avec $f$ en dehors de $U\protect$, et est donnée par la formule suivante dans $U\protect$:

$$F=f-\mu \circ (\xi +2\eta )$$

Etant donné son mode de construction, $F$ est $C^{\infty }$ sur $M$.

On remarque que $F^{-1}(]-\infty ,$c+ $\varepsilon ])=f^{-1}(]-\infty ,c+\varepsilon ])$. On a $\forall \: x\in M,\: F(x)\leq f(x)$, d'où $f^{-1}(]-\infty ,c+\varepsilon ])\subset F^{-1}(]-\infty ,c+\varepsilon ])$. D'autre part, si $F(x)\leq c+\varepsilon$, alors $x\in U\cup M^{c-\varepsilon }\subset M^{c+\varepsilon }$.

On remarque également que $F$ et $f$ ont mêmes points critiques: en exprimant $F$ à l'aide de $\xi$ et $\eta$, on a

$$F=c-\xi +\eta -\mu \circ (\xi +2\eta )$$

On peut donc considérer $F$ comme fonction de ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{2}$, et on a pour la différentielle

$$\frac{\partial F}{\partial \xi }=-1-\mu '(\xi +2\eta )$$

$$\frac{\partial F}{\partial \eta }=1-2\mu '(\xi +2\eta )$$

Etant donné que $dF=\frac{\partial F}{\partial \xi }d\xi +\frac{\partial F}{\partial \eta }d\eta$, et que $d\xi$ et $d\eta$ ne s'annulent simultanément qu'à l'origine, $F$ n'a pas de point critique dans $U\setminus \{p\}$.

D'autre part, $F^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])\subset f^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])$, et le seul point critique de $F$ que cet ensemble puisse contenir est donc $p$. Or

$$F(p)=c-\mu (0)<c-\varepsilon$$

Donc $F^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])$ ne contient aucun point critique de $F$, et $F^{-1}(]-\infty ,c-\varepsilon ])$ est donc un rétracte par déformation de $F^{-1}(]-\infty ,c+\varepsilon ])=M^{c+\varepsilon }$.

On note $M^{c-\varepsilon }\cup H=F^{-1}(]-\infty ,c-\varepsilon ])$. Il reste à montrer que $M^{c-\varepsilon }\cup e^{\lambda }$ est un rétracte par déformation de $M^{c-\varepsilon }\cup H$ (la relation ``être un rétracte par déformation de'' étant transitive), ce que l'on va faire de manière directe, en exhibant la famille d'applications $(r_{t}:M^{c-\varepsilon }\cup H\rightarrow M^{c-\varepsilon }\cup H)_{t\in [0,1]}$ ad-hoc.

$r_{t}$ est l'identité en-dehors de $U\protect$, et dans $U\protect$ on distingue trois cas en fonction des valeurs de $\xi$ et $\eta$:

1. Si $\xi \leq \varepsilon$, $r_{t}:(u^{1},..,u^{n})\longmapsto (u^{1},..,u^{\lambda },tu^{\lambda +1},..,tu^{n})$

2. Si $\varepsilon \leq \xi \leq \eta +\varepsilon$, $r_{t}:(u^{1},..,u^{n})\longmapsto (u^{1},..,u^{\lambda },s_{t}u^{\lambda +1},..,s_{t}u^{n})$ où $s_{t}=t+(1-t)\sqrt{\frac{\xi -\varepsilon }{\eta }}$

3. Si $\eta +\varepsilon \leq \xi$, $r_{t}$ est l'identité.

$r_{1}$ est dans les trois cas l'identité, et $r_{0}$ une rétraction dans $e^{\lambda }$. La définition fait que globalement on obtient bien une fonction $C^{\infty }$.

$\triangleleft$

Théorème 4.6   Si pour tout a de $M$ $M^{a}\protect$ est compact, alors $M^{a}\protect$ a le type d'homotopie d'un complexe cellulaire $C^{a}\protect$ possédant autant de cellules de dimension $\lambda \protect$ que de points critiques d'indice $\lambda \protect$ dont la valeur critique associée est dans $]-\infty ,a]\protect$ .

De ce théorème on tire un corollaire moins riche mais qui suffit à la formule de Gauss-Bonnet.

Théorème 4.7   Soit $c_{k}(f)\protect$ le nombre de points critiques de f d'indice k. Alors, si $M$ est compacte, on a

$$\chi (M)=\sum ^{d}_{k=0}(-1)^{k}c_{k}(f)$$

Démonstration (inspirée de C. GODBILLON, ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE) :

l'idée est que l'on connaît ``à peu près'' les groupes d'homologie du complexe cellulaire étant donné sa construction très simple, et que ces à-peu-près disparaissent quand on effectue la somme alternée des dimensions.

On procède par récurrence. Soient donc deux réels $a$ et $b\: (a<b)$ tels qu'il n'y ait qu'une seule valeur critique de $f$ entre $a$ et $b$, et supposons qu'on ait

$$\chi (M^{a})=\sum ^{d}_{k=0}(-1)^{k}c^{a}_{k}(f)$$

où $c^{a}_{k}(f)$ est le nombre de points critiques de $f$ d'indice $k$, à valeur associée dans $]-\infty ,a]\protect$. On va montrer que le résultat est aussi vrai pour $b$. $f$ étant continue et $M$ compacte, et les points critiques étant isolés car non dégénérés, il n'y en a qu'un nombre fini, et on peut donc énumérer leurs valeurs associées dans l'ordre croissant. Par récurrence, la démonstration sera donc achevée.

On suppose qu'un seul point critique est associé à la valeur critique entre $a$ et $b$, le cas où il y en a plusieurs se traîtant en itérant la démonstration qui suit. D'après le théorème 4.6, on est passé de $C^{a}\protect$ à $C^{b}$ en ajoutant une cellule de dimension $\lambda \protect$, que l'on supposera être la boule unité $B^{\lambda }$.

Traîtons tout-d'abord le cas $\lambda =0$. C'est un cas très particulier puisqu'il n'y a pas d'attachement à proprement parler, étant donné qu'une cellule de dimension 0 (i.e. un point) n'a pas de bord. Le complexe cellulaire $C^{b}$ est donc le complexe cellulaire $C^{a}\protect$ auquel on a ajouté un point. On a de manière générale $H^{q}(C^{b})=H^{q}(C^{a})$ pour $q>\lambda$, étant donné que toute forme différentielle de degré $q>\lambda$, qu'elle soit exacte ou fermée, est nulle sur la cellule attachée de dimension $\lambda \protect$. Seul $H^{0}$ est donc affecté; plus précisément, on a ajouté une composante connexe et on a donc $b_{k}(C^{b})=b_{k}(C^{a})+1$. La formule proposée est donc valable pour $b$, étant donné que la somme augmente de 1 et la caractéristique d'Euler aussi.

Dans le cas $\lambda >0$, on considère le recouvrement ouvert suivant de $C^{b}$, où $\varepsilon$ est un réel fixé de $]0,\frac{1}{2}[$:

$U_{1}=\{x\in C^{b}\vert x\in C^{a}\: ou\: d(x,S^{\lambda -1})\leq \varepsilon \}$. $U_{1}$ est le complexe $C^{a}\protect$ auquel on a ajouté une couronne de la nouvelle boule. $C^{a}\protect$ est un rétracte par déformation de $U_{1}$, comme on peut le voir en projetant progressivement la couronne sur la sphère. On a donc $H^{q}(U_{1})=H^{q}(C^{a})$ pour tout $q$.

$U_{2}=\{x\in B^{\lambda }\vert\parallel x\parallel <1\}$. $U_{2}$ est une boule ouverte de ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{\lambda }$, dont les groupes de cohomologie sont bien connus. Pour $q\in {\sf N\hspace*{-1.0ex}\rule{0.15ex}{1.3ex}\hspace*{1.0ex}}^{\star }$, $H^{q}(U_{2})=\{0\}$.

Pour $q\in {\sf N\hspace*{-1.0ex}\rule{0.15ex}{1.3ex}\hspace*{1.0ex}}^{\star }$, on écrit la suite exacte longue de Mayer-Vietoris:

$$.. \leftarrow H^{q}(U_{1}\cap U_{2})\leftarrow H^{q}(C^{a})\leftarrow H^{q}(C^{b})\leftarrow H^{q-1}(U_{1}\cap U_{2}) \leftarrow ..$$

Le cas $\lambda =1$ se traîte aussi à part. Supposons que le nombre de composantes connexes de $C^{a}\protect$ soit égal à $\alpha$ ( $\alpha =b_{0}(C^{a})$). On n'a pas ajouté de composante connexe en attachant une cellule de dimension 1, et le nombre de composantes connexes de $C^{b}$ vaut aussi $\alpha$. Ecrivons la suite longue de Mayer-Vietoris:

$$H^{0}(C^{b})\rightarrow H^{0}(U_{1})\bigoplus H^{0}(U_{2})\righta... ...rightarrow H^{1}(U_{1})\bigoplus H^{1}(U_{2})\rightarrow H^{1}(U_{1}\cap U_{2})$$

En remplaçant les groupes connus par leur expression, on obtient:

$$0\rightarrow {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0... ....9ex}}^{2}\rightarrow ^{f}H^{1}(C^{b})\rightarrow ^{g}H^{1}(C^{a})\rightarrow 0$$

En étudiant cette suite on trouve que $b_{1}(C^{b})=b_{1}(C^{a})+1$. Ceci prouve que la formule est aussi valable pour $b$.

On continue la démonstration dans le cas $\lambda >1$.

$U_{1}\cap U_{2}$ est une couronne de la boule ajoutée. Etant donné que la couronne se rétracte sur la sphère, on connaît les groupes de cohomologie:

$$\forall \: q\in 1..\lambda -2,\: H^{q}(U_{1}\cap U_{2})=\{0\}$$

$$H^{\lambda -1}(U_{1}\cap U_{2})={\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$$

On en déduit pour $q\in 2..\lambda -2$ (avec la convention habituelle selon laquelle $i..j =\oslash$ si $j<i$) la suite exacte suivante:

$$0\leftarrow H^{q}(C^{a})\leftarrow H^{q}(C^{b})\leftarrow 0$$

D'où $H^{q}(C^{a})\cong H^{q}(C^{b})$. Le cas $q=1$ se traîte avec la même suite, mais étant donné que $H ^{0}(U_{1}\cap U_{2})={\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$ on doit considérer une suite un peu plus longue. On arrive au même résultat $H^{1}(C^{a})\cong H^{1}(C^{b})$.

Pour $q=0$, étant donné que l'on n'a pas ajouté de composante connexe en attachant la cellule, $H^{0}(C^{a})=H^{0}(C^{b})$.

Seuls les groupes de cohomologie d'ordres $\lambda \protect$ et $\lambda -1$ peuvent donc être affectés par l'ajout de la cellule. On a la suite exacte suivante:

$$0\leftarrow H^{\lambda }(C^{a})\leftarrow ^{f_{1}}H^{\lambda }(C^... ...g_{1}}H^{\lambda -1}(C^{a})\leftarrow ^{g_{2}}H^{\lambda -1}(C^{b})\leftarrow 0$$

Deux cas se présentent alors:

• Supposons que $g_{1}$ soit nulle. $g_{2}$ est alors surjective, et c'est un isomorphisme. Donc $\mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda -1}(C^{a})]=\mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda -1}(C^{b})]$. $f_{2}$ est injective, d'où $\mathop{\rm dim}\nolimits [\mathop{\rm Im}\nolimits (f_{2})]=1=\mathop{\rm dim}\nolimits [\mathop{\rm Ker}\nolimits (f_{1})]$. $f_{1}$ étant surjective, on a $\mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda }(C^{a})]=\mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda }(C^{b})]-1$.

• Supposons que $g_{1}$ soit non nulle. Alors $f_{2}$ est nulle, et $f_{1}$ est un isomorphisme. On a aussi $\mathop{\rm dim}\nolimits [\mathop{\rm Im}\nolimits (g_{2})]=\mathop{\rm dim}\... ...ts [H^{\lambda -1}(C^{a})]-1=\mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda -1}(C^{b})]$.

Pour résumer, $\mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda -1}(C^{b})]=\mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda -1}(C^{a})]-\eta$, $\eta \in \{0,1\}$, et $\mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda }(C^{b})]=\mathop{\rm dim}\nolimits [H^{\lambda }(C^{a})]+(1-\eta )$.

$$\chi (M^{b})=\sum ^{d}_{k=0}(-1)^{k}b_{k}(M^{b})=\sum _{k\neq \la... ...^{b})+(-1)^{\lambda -1}b_{\lambda -1}(M^{b})+(-1)^{\lambda }b_{\lambda }(M^{b})$$

$$\chi (M^{b})=\chi (M^{a})-(-1)^{\lambda -1}\eta +(-1)^{\lambda }(1-\eta )=\chi (M^{a})+(-1)^{\lambda }$$

L'initialisation de la récurrence se fait en remarquant que $f$ étant continue et $M$ compacte, $f(M)\subset [c,d]$. Comme $M^{c-1}=\oslash$, $\chi (M^{c-1})=0$; or $c^{c-1}_{k}(f)=0$ pour tout k.

Etant donné que $M^{d}=M$, la preuve du théorème 4.7 est achevée.

$\triangleleft$