Produit intérieur d'une forme différentielle $\alpha \in \Omega ^{r}(X)$ par un champ de vecteurs $\xi$ :

Cela consiste à remplacer en chaque point le premier vecteur tangent par le vecteur donné par le champ, pour obtenir une forme différentielle dont le degré est diminué de 1:

$$(\mathop{\rm int}\nolimits (\xi ).\alpha )(x)(v_{1},..,v_{r-1})=\alpha (x)(\xi (x),v_{1},..v_{r-1})$$

A l'aide du produit intérieur, une forme volume $\alpha$ sur $X$ de dimension $d$ détermine un isomorphisme entre les champs de vecteurs sur $X$ et les formes différentielles de degré $d-1$, comme on le voit avec la formule suivante où $U\protect$ est un ouvert de ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{d}$:

$$\mathop{\rm int}\nolimits (\xi )\alpha _{\vert U}=\sum _{i=1}^{d}(-1)^{i-1}a.\xi _{i}dx_{1}\wedge ..\wedge \widehat{dx_{i}}\wedge dx_{d}$$