Equations différentielles

On peut reprendre pour l'étude des équations différentielles sur des variétés les outils utilisés dans le cas de ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{n}$ (théorèmes d'unicité, flot, groupes de difféomorphismes, etc.). Un théorème intéressant, et qui n'a pas d'équivalent dans le cas de ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{n}$, est le suivant:

Théorème 5.1   Soit $\xi$ un champ de vecteurs sur $X$ variété compacte. Soit $D(\xi )=\{(t,x)\in {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}\times X\vert t\in J(x)\}$ où $J(x)$ est l'intervalle maximal de définition de la courbe intégrale maximale passant par $x$. Alors $D(\xi )={\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}\times X$. Si $G_{t}$ est l'application de flot déplaçant suivant la courbe intégrale pendant une durée $t$, $G_{t}$ est un difféomorphisme.

Le fait que l'intervalle de définition soit ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$ en entier provient du fait que la solution ne peut ni arriver à la frontière du domaine de définition comme dans le cas d'un ouvert de ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{n}$, ni ``partir à l'infini''.

Démonstration (partielle): pour $x\in X$, on définit l'ouvert $U_{x}$ sur lequel la courbe intégrale est définie (on connaît l'existence locale de cette courbe intégrale); $X$ étant compacte se recouvre avec une nombre fini des ouverts $U_{x\: },x\in X$.