Théorème de Moser

Théorème 5.2   Si $X$ est une variété compacte, orientée, et connexe de dimension $d$, $H_{DR}^{d}(X)\cong {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$.

On admet que $H_{DR}^{d}(X)$ est de dimension au plus 1, ce qui provient du fait que toute forme différentielle de degré maximal sur ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{n}$ à support compact et d'intégrale nulle admet une primitive à support compact (la démonstration étant pénible).

La variété $X$ étant orientée, on choisit naturellement comme morphisme l'intégration, qui passe au quotient (comme on le voit avec le théorème de Stokes). $X$ étant orientée, il existe une forme d'intégrale non nulle, ce qui prouve que le morphisme ainsi défini est surjectif. Du fait des dimensions, $H_{DR}^{d}(X)\cong {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$.

$\triangleleft$

On déduit de cette démonstration que les formes exactes de degré $d$ sont exactement celles qui sont d'intégrale nulle.

Théorème 5.3   Théorème de Moser: soit $X$ une variété compacte, connexe, orientée de dimension $d$, $\alpha$ et $\beta$ deux formes volumes telles que $\int _{X}\alpha =\int _{X}\beta$. Alors il existe $f\in \mathop{\rm Diff}\nolimits (X)$ tel que $\beta =f^{*}\alpha$.

Démonstration

On définit une famille de formes volumes par $\forall \: t\in [0,1],\: \alpha _{t}=(1-t)\alpha +t\beta$. D'autre part, $\alpha -\beta$ étant d'intégrale nulle, $\exists \: \gamma \in \Omega ^{d-1}(X)$ vérifiant $d\gamma =\alpha -\beta$. Il existe de plus un champ de vecteurs $\xi$ tel que $\mathop{\rm int}\nolimits (\xi )\alpha =-\gamma$. Soit $F$ le flot global de $\xi$, qui existe car $X$ est compacte. La formule de dérivation des applications composées montre que

$$\frac{d(F_{t}^{\star }\alpha _{t})}{dt}(t)=\frac{d(F_{s}^{\star }\alpha _{t})}{ds}(t)+F_{t}^{\star }(\beta -\alpha )$$

En admettant que pour une forme fermée $\omega$

$$\frac{d(F_{s}^{\star }\omega )}{ds}(t)=F_{t}^{\star }(d(\mathop{\rm int}\nolimits (\xi )\omega )$$

on trouve finalement

$$\frac{d(F_{t}^{\star }\alpha _{t})}{dt}(t)=F_{t}^{\star }(d(-\gamma ))+F_{t}^{\star }(\beta -\alpha )=0$$

Donc $F^{\star }_{1}\beta =\alpha$, et le difféomorphisme recherché est $F^{-1}_{1}$.

$\triangleleft$