Définition du degré

Il existe plusieurs notions de degré en fonction de l'espace où sont définies les fonctions auxquelles on attache ce degré. On peut par exemple le faire dans le cadre des opérateurs compacts d'un espace de Banach. Le degré est surtout intéressant de par les résultats qualitatifs qu'il permet d'obtenir (par exemple l'existence de points fixes comme pour le théorème de Brouwer, points fixes qui dans le bon cadre peuvent correspondre à la solution d'une équation différentielle; cela est détaillé dans O. KAVIAN, INTRODUCTION A LA THEORIE DES POINTS CRITIQUES ). On s'intéressera ici au degré d'une application définie d'une variété dans une autre.

Le théorème suivant dit qu'en une valeur régulière, un morphisme de variétés de mêmes dimensions est localement un revêtement. $p$ application d'une variété $X$ dans une variété $Y\protect$ est un revêtement si et seulement si elle est surjective et si

$$\forall \: y\in Y,\: \exists \: V\in V(Y)\: p^{-1}(V)=\uplus _{i\in I}U_{i},\: p_{\mid U_{i}}\in \mathop{\rm Diff}\nolimits (U_{i},V)$$

où les $U_{i}$ sont des ouverts de $X$.

Théorème 5.4   Soient $X$ et $Y\protect$ deux variétés de même dimension, $X$ étant compacte, et $f$ définie de $X$ dans $Y\protect$ ayant $y\in Y\protect$ pour valeur régulière. Alors sur un voisinage $V\protect$ de $y$ $f_{\mid f^{-1}(V)}\protect$ est un revêtement.

On a la propriété $\forall \: x\in f^{-1}(y),\: T_{x}f\in \mathop{\rm Isom}\nolimits (T_{x}X,T_{y}Y)$. D'après le théorème d'inversion locale (dans sa version appliquée aux variétés), $\forall \: x\in f^{-1}(y),\: \exists \: U_{x}\in V(x)\: f_{\mid U_{x}}\in \mathop{\rm Diff}\nolimits (U_{x},f(U_{x}))$. $f^{-1}(y)$ est donc discret dans $X$ compacte, et donc fini.

Il reste à triturer les ouverts pour qu'ils vérifient les conditions de l'énoncé.

$\triangleleft$

Théorème 5.5   Théorème de Sard: si $X$ et $Y\protect$ sont deux variétés de même dimension, et $f\in C^{1}(X,Y)$, alors l'ensemble des valeurs critiques de $f$ est de mesure nulle dans $Y\protect$. Les valeurs régulières de $f$ sont donc partout denses dans $Y\protect$.

C'est une conséquence beaucoup plus faible que l'on utilisera ci-dessous: $f$ possède une valeur régulière.