Degré d'une application

Soient $X$ et $Y\protect$ deux variétés connexes, compactes, orientées, de même dimension $d$, et $f\in C^{\infty }(X,Y)$. Alors il existe un entier relatif appelé degré de $f$ et noté $\mathop{\rm deg}\nolimits (f)$ tel que

1. $\forall \omega \in \Omega ^{d}(Y),\;$ $\int _{X}f^{*}\omega =\mathop{\rm deg}\nolimits (f)\int _{Y}\omega$

2. $\forall y \in Y$ régulier (ie tel que $\forall x \in X f(x)=y,$$f$ est une submersion en $x$), on a $\mathop{\rm deg}\nolimits (f)=\sum _{y\in f^{-1}(x)}\mathop{\rm signe}\nolimits (J_{x}(f))$

Démonstration

A $f$ on associe $f^{\star }:H_{DR}^{d}(Y)\rightarrow H_{DR}^{d}(X)$. D'après 5.2, $H_{DR}^{d}(X)$ et $H_{DR}^{d}(Y)$ sont isomorphes à ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$ par l'application d'intégration. On obtient donc naturellement un morphisme $\overline{f^{\star }}:{\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}\rightleftharpoons {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}$ (qui est la multiplication par un réel $k$) tel que

$$\overline{f^{\star }}\circ I_{Y}=I_{X}\circ f^{\star }$$

ce qui montre que $\forall \omega \in \Omega ^{d}(Y),\;$ $\int _{X}f^{*}\omega =k\int _{Y}\omega$.

Le fait que $k$ soit entier résulte de la deuxième partie de la proposition, et de la propriété signalée en 5.5 selon laquelle $f$ possède au moins une valeur régulière.

Soit $y\in Y\protect$ valeur régulière de $f$. On peut alors appliquer la propriété de ``revêtement local'' 5.4, dont on reprend les notations, en choisissant le voisinage $V\protect$ connexe. On peut choisir une forme différentielle de degré maximal $\omega$, à support dans $V\protect$, et d'intégrale non nulle sur $Y\protect$. Etant donné que $Supp(f^{\star }\omega )\subset f^{-1}(V)$, $\int _{X}f^{\star }\omega =\sum ^{n}_{i=1}\int _{U_{i}}f^{\star }\omega$.

$f_{\mid U_{i}}$ est un difféomorphisme de $U_{i}$ sur $V\protect$ connexe, et préserve donc ou renverse les orientations. Donc $\int _{U_{i}}f^{\star }\omega =\mathop{\rm signe}\nolimits (J_{x_{i}}f)\int _{Y}\omega$, d'où on déduit la formule annoncée.

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