Propriétés

• Le degré est invariant par homotopie.

• Si $X$, $Y\protect$, et $Z$ sont des variétés de dimension $d$ compactes, orientées, et connexes, $f\in C^{\infty }(X,Y)$, et $g\in C^{\infty }(Y,Z)$, alors $\mathop{\rm deg}\nolimits (g\circ f)=\mathop{\rm deg}\nolimits (g)\mathop{\rm deg}\nolimits (f)$.

• Si $f$ n'est pas une surjection, il existe un élément de $Y\protect$ non atteint; c'est une valeur régulière de $f$, et on peut donc appliquer la propriété 2, d'où $\mathop{\rm deg}\nolimits (f)=0$.

• Le degré de l'antipodie $\sigma$ sur $S^{d}$ est $(-1)^{d+1}$ (on peut montrer de manière plus générale que $\forall \: f\in O(n+1),\: \mathop{\rm deg}\nolimits (f_{\vert S^{d}})=\mathop{\rm det}\nolimits (f)$, cf ZISMAN, TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE ÉLÉMENTAIRE).

Démonstration:

On peut prendre pour forme volume sur $S^{d}$ la forme $\omega$ suivante:

$$\omega =\sum _{i=0}^{d}(-1)^{i}x_{i}.dx_{0}\wedge ..\wedge \widehat{dx_{i}}\wedge ..\wedge dx_{d}$$

$$s^{\star }\omega =\sum _{i=0}^{d}(-1)^{i}(-x_{i}).(-dx_{0})\wedge ..\wedge \widehat{dx_{i}}\wedge ..\wedge (-dx_{d})=(-1)^{d+1}\omega$$

$\triangleleft$