Application aux champs de vecteurs sur la sphère

Théorème 6.1   Il existe un champ de vecteurs $C^{\infty }$ partout non nul sur la sphère $S^{d}$ si et seulement si d est impair.

Corollaire: au même instant, il ne peut y avoir du vent partout sur la Terre .

Un champ de vecteurs $C^{\infty }$ sur $X$, jamais nul défini sur $S^{2d-1}$ est le suivant, où l'on utilise l'identification entre ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{2}$et le corps des complexes:

$$Y(z_{1},..,z_{d})=(iz_{1},..,iz_{d})$$

Supposons $d$ pair et que $Y\protect$ soit un champ de vecteurs continu, jamais nul sur $S^{d}$ . On peut alors définir

$$Z: S^{d}\rightarrow S ^{d}$$

$$t\longmapsto \frac{Y(t)}{\Vert Y(t)\Vert }$$

On peut alors définir l'homotopie suivante:

$$F:{\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}\times S^{d}\rightarrow S^{d}$$

$$(t,x)\longmapsto cos(\Pi t)x + sin(\Pi t)Z(x)$$

$F$ est une homotopie entre l'identité et l'antipodie, qui sont de degrés différents, ce qui est absurde.

$\triangleleft$