Indices des champs de vecteurs

On considère un champ de vecteurs $\xi$ $C^{\infty }$ sur un ouvert $U\protect$ de ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{d}$, tel que $m$ soit un zéro isolé de $\xi$.

L'indice de $\xi$ en $m\: \mathop{\rm Ind}\nolimits _{m}\xi$ est le degré de l'application

$F:S^{d}\rightarrow S^{d}$

$x\mapsto \frac{X(m+\varepsilon x)}{\Vert X(m+\varepsilon x)\Vert }$, degré qui est le même pour tout $\varepsilon$ tel que $\xi$ ne s'annule qu'en $m$ sur $B(m,\varepsilon )$.

Lemme 6.2   Si $\varphi :\Re ^{n}\rightarrow \Re ^{n}\protect$ est un difféomorphisme, $\mathop{\rm Ind}\nolimits _{m}\xi =\mathop{\rm Ind}\nolimits _{\varphi (m)}\varphi _{\star }\xi \protect$

Grâce à cette invariance par difféomorphisme, on peut donner un sens à l'indice d'un champ de vecteurs sur une variété $C^{\infty }$.

Théorème 6.3   Soit $\xi$ un champ de vecteurs $C^{\infty }$ sur $\Re ^{d}\protect$, dont les zéros dans $B(0,1)\protect$ sont isolés et notés $x_{1},..,x_{n}\protect$, et rentrant sur $S^{d-1}\protect$. Alors $\sum ^{n}_{i=1}\mathop{\rm indice}\nolimits _{x_{i}}\xi =(-1)^{d}\protect$.

Démonstration:

Les zéros étant en nombre fini, on peut trouver un ensemble de boules $(B_{i})_{i=1..n}$ de centre $x_{i}$ et de rayon $\varepsilon _{i}>0$ telles que $i\neq j\Rightarrow B_{i}\cap B_{j}=\oslash$. On note $D=B(0,1)\setminus \cup _{i=1}^{n}\{x_{i}\}$.

Le champ étant rentrant, il ne s'annule pas sur un voisinage $U\protect$ de la boule unité privé des points $(x_{i})_{i=1..n}$. On peut donc définir une fonction $f\in C^{\infty }(U\setminus \cup ^{n}_{i=1}\{x_{i}\},S^{d-1})$ comme suit:

$$f(x)=\frac{\xi (x)}{\parallel \xi (x)\parallel }$$

En notant $\omega$ la forme volume canonique de $S^{d-1}\protect$, le théorème de Stokes donne

$$\int _{D}d(f^{\star }\omega )=\int _{S^{d-1}}f^{\star }\omega -\sum ^{n}_{i=1}\int _{S(x_{i},\varepsilon _{i})}f^{\star }\omega$$

Or $\int _{D}d(f^{\star }\omega )=0$ car $d(f^{\star }\omega )=f^{\star }(d\omega )=f^{\star }(0)=0$ car $\omega$ est de degré maximal.

D'après la définition donnée ci-dessus de l'indice d'un champ de vecteurs, on trouve

$$\int _{S^{d-1}}f^{\star }\omega =\sum _{i=1}^{n}\mathop{\rm indice}\nolimits _{x_{i}}\xi$$

Il reste donc à calculer le membre de gauche. On va montrer que $f_{\vert S^{d-1}}$ est homotope à l'antipodie $\sigma$, ce qui d'après les propriétés signalées en 5.3.2 achèvera la démonstration. Soit donc

$$F(t,x)=\frac{(1-t)\xi (x)-tx}{\parallel (1-t)\xi (x)-tx\parallel }$$

Le champ étant rentrant, le dénominateur de cette expression ne s'annule pas pour $t\in [0,1]$. Le produit $[0,1]\times S^{d-1}$ étant compact, et le dénominateur étant une fonction continue du couple $(t,x)$, il existe $\alpha \in {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{\star }_{+}$ tel que le dénominateur soit non nul sur $[-\alpha ,1+\alpha ]$. $F$ est alors $C^{\infty }$ sur $[-\alpha ,1+\alpha ]\times S^{d-1}$, et définit donc une homotopie.

$\triangleleft$

Le théorème suivant est cité parce qu'il donne une généralisation intéressante des résultats précédents, mais sa démonstration n'est pas aisée. La caractéristique d'Euler d'une variété à bord peut être calculée à l'aide de la cohomologie de de Rham, en utilisant la notion de cohomologie relative (dans cette cohomologie, on considère les formes différentielles qui s'annulent sur un sous-espace de l'espace étudié, par exemple qui s'annulent sur son bord).

Théorème 6.4   Théorème de Poincaré-Hopf: soit X une variété $C^{\infty }$ compacte à bord, $\xi$ un champ de vecteurs $C^{\infty }$ sur X, sortant sur le bord, et dont les zéros sont isolés. Alors on a

$$\chi (X)=\sum _{\{x\vert\xi (x)=0\}}\mathop{\rm Ind}\nolimits _{x}\xi$$

On voit en particulier que si la caractéristique d'Euler est non nulle, tout champ de vecteurs doit s'annuler. Dans le cas de la sphère de ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{2n+1}$, il n'existe donc pas de champ de vecteurs jamais nul: on retrouve le résultat précédent.