Formule de Gauss-Bonnet

L'application de Gauss est $\gamma :NUX\rightarrow S(E),(x,v)\mapsto v$.

Soit $f_{(x,v)}\in C^{\infty }(X)$ définie de la manière suivante pour $(x,v)\in NUX$:

$f_{(x,v)}(y)=<v\mid y>$.

Lemme 7.1   $f_{(x,v)}$ admet en $x$ un point critique non dégénéré si et seulement si $(x,v)$ n'est pas un point critique de $\gamma$. Si $E$ est de dimension paire, on a $\mathop{\rm signe}\nolimits (J_{(x,v)}\gamma )=(-1)^{\mathop{\rm indice}\nolimits _{x}f(x,v)}$.

Théorème 7.2   Soit $X$ une sous-variété compacte de dimension $d$ paire de $E$ espace vectoriel euclidien de dimension $n$. On a $\mathop{\rm deg}\nolimits (\gamma )=\chi (X)$, et $\int _{X}K_{d}\delta =\chi (X).\mathop{\rm Volume}\nolimits (S^{n-1})$, cette dernière formule étant la formule de Gauss-Bonnet.

Démonstration (avec les mêmes notations que ci-dessus)

On est dans le bon cadre pour appliquer la théorie du degré car $S(E)$ et $NUX$ sont des variétés compactes connexes, de même dimension $n-1$, et orientées de manière canonique.

D'après 5.5, $\gamma$ possède une valeur régulière $v\in S(E)$. $\gamma ^{-1}(v)=\bigcup ^{n}_{i=1}\{(x_{i},v\}\}$ est donc fini. Soit $f_{v}:X\rightarrow {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}},\: y\longmapsto <v\mid y>$ . $f_{v}$ est critique en $y$ si et seulement si $v\in N_{y}X$, soit $\gamma (y,v)=v$, i.e. $y=x_{i}$ pour un certain $i$. $v$ étant valeur régulière de $\gamma$ par hypothèse, les $x_{i}$ sont des points critiques non dégénérés d'après 7.1. En application de 4.7 on a

$$\chi (X)=\sum ^{d}_{k=0}(-1)^{k}c_{k}(f_{v})=\mathop{\rm Card}\no... ...ert\mathop{\rm indice}\nolimits _{x_{i}}f_{v}\: \mathop{\rm impair}\nolimits \}$$

$E$ étant de dimension paire, 7.1 donne encore

$$\chi (X)=\mathop{\rm Card}\nolimits \{x_{i}\vert\mathop{\rm signe... ...signe}\nolimits (J_{(x_{i},v)}\gamma )=-1\}=\mathop{\rm deg}\nolimits (\gamma )$$

D'après 1.2, $\int _{X}K_{d}\delta =\int _{NUX}\gamma ^{\star }\Sigma =\mathop{\rm deg}\noli... ...Sigma =\mathop{\rm Volume}\nolimits (S(E)).\mathop{\rm deg}\nolimits (\gamma )$.

Donc

$$\int _{X}K_{d}\delta =\chi (X).\mathop{\rm Volume}\nolimits (S^{n-1})$$

$\triangleleft$

Corollaire 7.3   Dans le cas $d=2$, $\mathop{\rm Volume}\nolimits (\mathop{\rm TUB}\nolimits ^{\varepsilon }(X))=\v... ...1))+\frac{\varepsilon ^{n}}{n}.\mathop{\rm Volume}\nolimits (S^{n-1}).\chi (X)$

La propriété remarquable de la formule de Gauss-Bonnet est que l'on relie l'intégrale de la courbure de Weyl à un invariant de la variété, de manière indépendante du plongement de la variété dans un espace euclidien.