Homologie singulière

C'est l'homologie la plus utilisée, et la plus puissante. Elle a le désavantage de définir des groupes qui sont très grands et donc incalculables dans la pratique.

• Le simplexe de dimension $n$ est l'envelope convexe des vecteurs de base de ${\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.15ex}{1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{n+1}$:

$$\Delta _{n}=\{(x_{0},..,x_{n})\in {\sf R\hspace*{-0.9ex}\rule{0.1... ...1.5ex}\hspace*{0.9ex}}^{n+1}\vert\forall i,x_{i}\geq 0,\sum ^{n}_{i=0}x_{i}=1\}$$

• Bord d'un simplexe: on définit $\delta ^{p}_{i}(x_{0},..,x_{p-1})=(x_{0},..,x_{i-1},0,x_{i+1},..,x_{p-1})$

• Etant donné un anneau $A$, on définit une chaîne singulière dans X de degré $p$ de la manière suivante: $\sigma =\sum ^{m}_{i=0}a_{i}\sigma _{i}$ où pour tout $i$ $a_{i}\in A,\sigma _{i}\in C^{0}(\Delta _{p},X)$. On note $C_{p}(A,X)$ l'ensemble de ces chaînes.

• Application bord: $\partial _{p}$ va de l'ensemble des chaînes de degré $p+1$ dans l'ensemble des chaînes de degré $p$ pour tout $p$; on note abusivement $\partial$ toutes ces applications: $\partial \sigma =\sum ^{m}_{i=0}n_{i}\partial \sigma _{i}$ où $\partial \sigma _{j}=\sum ^{m}_{i=0}(-1)^{i}\sigma _{j}\circ \delta ^{p+2}_{i}$. On a $\delta ^{2}=0$.

• Soient $Z_{p}(X)=\mathop{\rm Ker}\nolimits (\partial _{p}),B_{p}(X)=\mathop{\rm Im}\nolimits (\partial _{p})$. Le $A$-module quotient d'homologie singulière de degré $p$ est $H_{p}(X,A)=Z_{p}(X)/B_{p}(X)$.